“构造”的艺术与力量

发布日期:2020-12-08 被阅览数:483 次 信息来源:建陵高级中学 信息录入:教师发展中心 信息审核:教师发展中心 字体显示:【大】  【中】  【小】

2016年蓝天杯省二等奖

“构造”的艺术与力量

——如何妙用高中数学“构造法”

沭阳县建陵高级中学 张磊

摘  要:在高中数学中,学生会遇到一些无从下手的难题,往往是数学构造法给了学生一线生机,它可以使复杂问题简单化。本文通过构造图形、构造模型、构造方程、构造函数、构造公式、构造向量和构造数列这几个方面介绍了构造法在高中数学中的应用。

 

关键词:构造法    创新    思维能力    解决问题

 

数学构造法是解决数学难题的重要工具,但它又不同于通法通解,就是“不走寻常路”,因此掌握和应用起来都有一定的难度,若还是按定性思维去探求解题途径,往往会误入“死胡同”,所以教师要启发学生通过构造法解题训练学生发散思维,谋求最佳的解题途径,达到思维的创新。同时数学构造法对培养学生的创造和创新意识,思维的敏捷性和创造性具有重要的意义。因此,在高中数学教学中,培养学生运用构造法来解题成为一种必然趋势。

一、构造法的概念

通过对条件和结论进行充分细致的分析,抓住问题的结构特征,联想熟知的数学模型,然后变换命题,恰当地构造辅助元素,它可以是一个图形,一个函数,一个方程,一个等价命题等等,以此架起一座连接条件和结论的桥梁,从而使问题得以解决,这种解题的数学方法,我们称之为构造法。

二、构造法的特征

构造法的内涵十分丰富,没有通用的方法,它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础,针对具体的问题的特点而采取相应的解决办法,构造法关键在于抓住数学难题的结构特点,联想已学的数学知识,这样才可以构造出相应的几何图形、函数、方程、向量、数列等。

三、构造法的基本方法

构造法的基本方法是:借用一类问题的性质,来研究另一类问题的思维方法。即运用数学的基本思想经过认真的观察,深入的思考,构造出解题的思路从而使问题得以解决。

历史上有不少著名的数学家,如欧几里得、欧拉、高斯、拉格朗日等人,都曾经用“构造法”成功地解决过数学上的难题。

所以在解题过程中,要引导学生不能走定性思维这条老路,要启发学生根据题目特点,展开丰富的联想“建造”出一条“好路”。

四、构造法的实例

数学是一门基础性学科,内涵丰韵,其中灵活巧妙的构造更是令人拍案叫绝,能为数学问题的解决添砖加瓦。近几年来,构造法及其应用又逐渐被数学教育界所重视,是历来数学竞赛的首选。用构造法解题,常使数学解题由难变易,下面通过几个实例来探讨构造法的奥妙。

(一)构造图形

所谓构造图形,是以抽象的已知条件为前提,构造出一些理想的图形,通过图形直观地揭示已知与未知的关系,确定解题的出发点,使解题的思路豁然开朗。实质上也就是高中数学中常见的数形结合, “构造”代数与几何的桥梁,实现难题巧解。

例1:设是周长不超过的三角形的三条边长,

求证:可以构成三角形的三条边长。

构造三面角

证明:由题意知道,且 是三角形三条边长,则可以构成一个的三面角。

如图设,,,

设,过作垂直于面,为垂足,连结,

,,,

过作,,,为垂足

     ,

若两个式子都取“=”号,

则,三点共线与题设不符;

若不能同时取等号,

则,

即,同理,

所以可以构成三角形的三条边长。

例2: 设x,y是正实数,求证:


构造三棱锥

如图:


 

 

 

 

 

设, ,

利用余弦定理得,,

 

沿把三棱锥展开得: 

所以。

例3:证明基本不等式:(高中数学苏教版必修5)

分析:这题可用书上的分析法和综合法来证明,证明的后面又紧接着来了一个思考:你能给出基本不等式的几何解释吗?

构造平面图形

如图:设,,过点作,垂足为,

由与相似可得,

在中,明显,即(当且仅当重合时取“=”)

(二)构造模型

构造模型常用于隔板模型、抽屉原则及染色问题,也是各级数学竞赛中常用的方法。

例4:求不定方程的正整数解的个数。

解:运用隔板法必须同时具备三个条件:①所有元素必须相同;②所有元素必须分完;③每组至少有一个元素。本题符合要求,构造一个隔板模型。因为,所以把分成个1,其间有个空当,插入个“挡板”,于是把个1分成部分,根据排列组合的相关知识得到原不定方程解的组数为。

根据问题的特点,把握问题的本质,联想、类比是构造模型的关键。

(三)构造方程

方程是解决数学问题的一个重要工具,许多数学问题,根据其数量关系,有目的的构造方程,在已知和未知之间搭上桥梁,结合数学问题中条件与结论的关系,使问题中的隐含关系明朗化,从而简捷迅速地使问题得到解决,这也是解某些竞赛题的常用技巧之一.

 例5:若 

     求证:成等差数列。

分析:本题证明方法很多,可以用构造法证明。注意到条件中等式的左边代数式的结构特点,容易联想起一元二次方程根的判别式,为此可构造以为判别式的一元二次方程 ( * )

由题可知⊿ 

      ∴方程(*)有两个相等实根

      又∵ 

      ∴为方程(*)的一个根,从而 

由韦达定理得: 

      从而,命题得证。

例6:有20个相同的小球,放入编号为1,2,3,4的四个盒子中,若每个盒子中的小球数不小于编号数,则不同的放法有多少种?

解析:设编号为的盒子中放入个小球,根据题意列出不定方程:,求出该方程正整数解的组数。但新的问题又出现了,此方程怎么解?

因此,该方程必须要进行等价转化,再次构造出新方程,

即,

令,,,,

则此方程等价转化为解的组数,由例4结论可得共有组解。

所以构造方程的关键是:找到等量关系,正确列出方程。

(四)构造函数

函数在高中数学中也具有重要的地位,学生对于函数的性质也比较熟悉。选择熟悉的函数内容来解决棘手问题,可以训练学生的思维,增强学生解题的灵活性、开拓性、创造性。

 例7:已知,且;

求证:(高中数学苏教版选修2-2)

分析:由已知结论可知,若用代替可以得到关于的分式,若我们令是一个函数,且,我们可以构造函数

,利用函数的单调性来证明这个不等式

证明:∵且

      ∴在[0,+∞)内是增函数

      ∴,即得证。

有些数学题似乎与函数毫不相干,但是根据题目的特点,巧妙地构造一个函数,利用函数的性质得到了简捷的证明。解题过程中不断挖掘学生的潜在意识,启发学生思维多变,从而达到培养学生发散思维。

(五)构造公式

数学公式是人们在研究数学时发现的一般性的结论,并通过一定的方式表达出来的一种表达方法。它确切的反映了数学内部和外部的关系,是学生解题时首选的工具,题目做的快与慢,准与狠,关键取决于对公式的熟练程度,在理解的基础上牢记公式可以提高学生的解题效率。

例8:已知都是实数,求证:


分析:仔细观察题目的结构形式,要证结论的两端与平面上两点间的距离公式相似,根据其特点,可采用公式法巧妙简捷的证明本题。

证明:设,,

则,,

在中,由三角形三边之间的关系知:

但当点在上时,即


用常规方法处理不了的问题,可以对题目进行深入细致透彻的观察,分析题目的具体特征,透过表面现象看本质,转化到已学的知识上来,使学生对数学另眼相看,提高他们的学习数学的热情。

(六)构造向量

向量作为一种重要的解题工具,一直是高考的热点和重点内容,用向量来处理数学难题既独特又简练。它可以简化解题过程,通过构造向量进行等价转换,利用向量相关知识进行解答,常常可化繁为简,达到巧妙解题的效果。

例9.已知,求证:.

证明:设向量, ,且设向量与的夹角为,则.

又∵,

∴,即.

∴,

∴,即。

观察问题的特征,要与向量有关知识联系起来,就会有新的视角、新的理解、新的利器,从而使问题得到快速的解决。

(七)构造数列

数列一般出现在高考题的后半部分,很多带有综合性的色彩,难度很大,从表面上并不能看出是特殊的等差或等比数列,但通过剖析可以转化到等差或等比数列上进行解决。

例10:已知数列满足,,,求的通向公式。

分析:递推式形如,则使用待定系数法列方程组来构造等比数列。

解:设

即,与比较知

,解得或

取,,则,

是以为首项,2为公比的等比数列,

所以,利用叠加法可得

经检验时同样适合,从而

同理仿照上面的方法当,时构造出,得到的另一个通向公式。

对数列这类相对棘手的问题,要潜心研究构造新数列的基本特点,迸发灵感、开拓思维、举一反三、巩固升华。

五、结束语

由此可见,构造法是一种多么重要的方法,“构造法”构造的方向远不止这几种,而且方法独特、巧妙、另类,用“不怕做不到,就怕想不到”来赞美构造法一点都不为过,因为它若隐若现、若即若离,这就是数学的奥妙。虽然这种方法有难度,但学生只要在实践中摸索,去粗取精,不断地摸索、推敲,定会提高学生的解题能力。

参考文献:

1.朱占奎  陆贤彬.简中求道之数列.[新高考].江苏教育出版社,2014.4

2.陈爱萍.观察特征  善用向量.[新高考].江苏教育出版社,2015.1/2

3.张俊.同构异学—从结构形式谈学习.[新高考].江苏教育出版社,2014.12

  4.张伟新.用不定方程来解排列组合问题.[数学教学通讯],2004.5

 


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